Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為3元，并且每件商品需向總店交a（1≤a≤3）元的管理費，預(yù)計當(dāng)每件商品的售價為x（7≤x≤9）元時，一年的銷售量為（10-x）²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）當(dāng)每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)利潤函數(shù)，建立利潤函數(shù)解析式，寫出函數(shù)的定義域；
（2）先求解L'（x），然后，令導(dǎo)數(shù)為0，求解極值點，然后，對極值點的取值進(jìn)行討論，從而求解最大值．

解答： 解：（1）由題得該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的解：
函數(shù)關(guān)系式為 L（x）=（x-3-a）（10-x）²，x∈[7，9]，
（2）L'（x）=（x-10）（3x-2a-16），
令L'（x）=0，得x=

2a+16

3

或x=10，
∵1≤a≤3，∴6≤

2a+16

3

≤

22

3

．
①當(dāng)

2a+16

3

≤7時，即1≤a≤

5

2

時，
當(dāng) x∈[7，9]時，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上單調(diào)遞減，
故L（x）_max=L（7）=36-9a，
②當(dāng)

2a+16

3

＞7時，即

5

2

＜a≤3時，
x∈[7，

2a+16

3

]時，L'（x）＞0；x∈[

2a+16

3

，9]時，L'（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，

2a+16

3

]上單調(diào)遞增；在x∈[

2a+16

3

，9]上單調(diào)遞減，
故L(x)max=L(

2a+16

3

)=

4

27

(7-a)3，
答：當(dāng)1≤a≤

5

2

，每件商品的售價為7元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為36-9a萬元；
當(dāng)

5

2

＜a≤3每件商品的售價為

2a+16

3

元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為

4

27

(7-a)3萬元．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的綜合運用，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題等知識，屬于中檔題．