設(shè)函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函數(shù),
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,試求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(3)若f(1)=
32
,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知道f(0)=0,即可得答案.
(2)由(1)可得f(x)的解析式,再根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出不等式的解集.
(3)由f(1)=
3
2
課求出a的值,進(jìn)而求出函數(shù)g(x)的解析式.再根據(jù)g(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求出m的值
解答:解:(1)∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(0)=0,∴k-1=0,
∴k=1
(2)∵f(1)>0,∴a-
1
a
>0
,∴a>1,
又f'(x)=axlna+a-xlna=(ax+a-x)lna>0
∴f(x)在R上單調(diào)遞增,
原不等式可化為:f(x2+2x)>f(4-x),
∴x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,
∴x>1或x<-4,
∴不等式的解集為{x|x>1或x<-4}
(3)∵f(1)=
3
2
,∴a-
1
a
=
3
2
,即2a2-3a-2=0,
∴a=2或a=-
1
2
(舍去)
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x2-2m(2x-2-x)+2
令t=f(x)=2x-2-x,
∵x≥1,∴t≥f(1)=
3
2
,
∴g(x)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2
當(dāng)m≥
3
2
時(shí),當(dāng)t=m時(shí),g(x)min=2-m2=-2,
∴m=2,
當(dāng)m<
3
2
時(shí),當(dāng)t=
3
2
時(shí),g(x)min=
17
4
-3m=-2
,m=
25
12
3
2
,舍去,
∴m=2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)奇偶性的問題,這里要求會(huì)根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行解不等式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
,
3
2
)
,若存在不同時(shí)為o的實(shí)數(shù)k和x,使
m
=
a
+(x2-3)
b
n
=-k
a
+x
b
,
m
n

(Ⅰ)試求函數(shù)關(guān)系式k=f(x).
(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中的f(x),設(shè)h(x)=4f(x)-ax2在[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù).
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②當(dāng)a=-1時(shí),如果存在x0≥1,h(x0)≥1,且h(h(x0))=x0,求證:h(x0)=x0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知:射線OA為y=kx(k>0,x>0),射線OB為y=-kx(x>0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在∠AOx的內(nèi)部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四邊形ONPM的面積恰為k.
(1)設(shè)M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0),求P(x,y)(x>0,0<y<kx)分別到直線OM,ON的距離.
(2)當(dāng)k為定值時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù),求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式;
(3)根據(jù)k的取值范圍,確定y=f(x)的定義域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+ka-x(a>0,且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若f(1)=
32

①用定義證明:f(x)是單調(diào)增函數(shù);
②設(shè)g(x)=a2x+a-2x-2f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知:射線OA為y=kx(k>0,x>0),射線OB為y=-kx(x>0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在∠AOx的內(nèi)部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四邊形ONPM的面積恰為k.
(1)設(shè)M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0),求P(x,y)(x>0,0<y<kx)分別到直線OM,ON的距離.
(2)當(dāng)k為定值時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù),求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式;
(3)根據(jù)k的取值范圍,確定y=f(x)的定義域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省杭州市西湖高級(jí)中學(xué)2011-2012學(xué)年高三10月月考試題數(shù)學(xué)理 題型:解答題

 設(shè)函數(shù)f(x)=ka x- a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)?i>R的奇函數(shù).

(1)求k值;

(2)若f(1)>0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

(3)若f(1)=,且g(x)=a 2xa - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.

 

 

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