Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為2，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

an

an-1

=2，從而數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，從而b_n=n，cn=

n

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知2a_n=S_n+2，a_n＞0，a₁=2，（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1
整理得：

an

an-1

=2，（4分）
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an=a1•2n-1=2×2^n-1=2ⁿ．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，∴b_n=n，cn=

n

2n

，（7分）
T_n=

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

，…①

1

2

Tn=

1

4

+

2

8

+

3

16

+…+

n

2n+1

，…②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，（10分）
∴

1

2

Tn=1-

1

2n

-

n

2n+1

，（11分）
∴T_n=2-

2+n

2n

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．