Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求三棱錐P-EFG的體積．

Answer 1

解（I）：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．（4分）
∵F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．（6分）
（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．（8分）
∵PE=PD=1，EF=CD=1，
∴．
∵GC==1，
∴（12分）
分析：（I）取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，說明PA不在平面EFG，F(xiàn)H在平面EFG，證明PA平行平面EFG內(nèi)的直線FH即可證明PA∥平面EFG；
（II）利用轉(zhuǎn)化法，求出底面面積和高，求三棱錐P-EFG的體積．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查計算能力，是中檔題．