Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2

2

，離心率是

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使

CA

•

CB

為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2

2

，離心率是

2

2

，可確定幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）分類討論：當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)過點(diǎn)F₂的直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，可得

CA

•

CB

=m2-2m+

1

2

+

2m- 5 2

2k2+1

，要使

CA

•

CB

為常數(shù)，則2m-

5

2

=0，從而可得m=

5

4

，

CA

•

CB

=-

7

16

；當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，同樣可得在x軸上存在定點(diǎn)C(

5

4

，0)，使

CA

•

CB

為常數(shù)-

7

16

．

解答：解：（1）∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2

2

，離心率是

2

2

．
∴a=

2

，

c

a

=

2

2

∴c=1，∴b=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)過點(diǎn)F₂的直線AB方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（m，0）
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，消去y得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

∴

CA

•

CB

=(k2+1)x1x2-(k2+m)(x1+x2)+k2+m2=m2-2m+

1

2

+

2m- 5 2

2k2+1

要使

CA

•

CB

為常數(shù)，則2m-

5

2

=0，∴m=

5

4

．此時(shí)

CA

•

CB

=-

7

16

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(1，

2

2

)，(1，-

2

2

)
∴

CA

•

CB

=(1-

5

4

，

2

2

)•(1-

5

4

，-

2

2

)=-

7

16

綜上知，在x軸上存在定點(diǎn)C(

5

4

，0)，使

CA

•

CB

為常數(shù)-

7

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解．