Question

設(shè)橢圓C：（λ＞0）的兩焦點是F₁，F(xiàn)₂，且橢圓上存在點P，使
（1）求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）若直線l：x-y+2=0與橢圓C存在一公共點M，使得|MF₁|+|MF₂|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程．
（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為k（k≠0）的直線?，與橢圓交于不同的兩點A、B，滿足，且使得過點Q，N（0，-1）兩點的直線NQ滿足=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ，再結(jié)合基本不等式列不等關(guān)系，即可解得實數(shù)λ的取值范圍；
（2）將直線的方程與橢圓C的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)△≥0得λ的取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)的值域求出|MF₁|+|MF₂|取得最小值及此時橢圓的方程即可；
（3）設(shè)兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點Q（x，y），先將A，B兩點的坐標代入橢圓方程，兩式相減得Q（x，y）的軌跡方程，再求出求得點Q的坐標，最后根據(jù)Q在橢圓內(nèi)即可求出k的取值范圍．
解答：解（1）由橢圓定義可得：由可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ
而∴4λ≥2（λ+1）解得λ≥1（3分）．
（2）由x-y+2=0，，得（λ+2）x²+4（λ+1）x+3（λ+1）=0
△=16（λ+1）²-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此時
當僅當λ=2時，|MF₁|+|MF₂|取得最小值，此時橢圓方程為（8分）
（3）由知點Q是AB的中點．設(shè)兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點Q（x，y），則
兩式相減得
∴∴AB中點Q（x，y）的軌跡為直線①
且在橢圓內(nèi)的部分．又由可知，NQ⊥AB，
所以直線NQ的斜率為，方程為②
聯(lián)立①、②可求得點Q的坐標為
∵點Q必在橢圓內(nèi)，，解得k²＜1
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）
點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量數(shù)量積的運算等．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．