Question

（2009•閔行區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作銳角α，其終邊與單位圓相交于A點(diǎn)，若A點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4

5

，則tan(

α

2

+

π

4

)的值為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，作AB垂直于x軸，由單位圓的半徑為1，且A的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長，即為A的縱坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可知tanα的值為AB：OB，求出tanα的值，然后利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡tanα，根據(jù)其值得到關(guān)于tan

α

2

的方程，求出方程的解得到tan

α

2

的值，最后把所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將tan

α

2

的值代入即可求出值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過A作AB⊥x軸，
∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4

5

，即|OB|=

4

5

，又|OA|=1，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：|AB|=

3

5

，
∴A的縱坐標(biāo)為

3

5

，即tanα=

3

4

，
∴tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，即（3tan

α

2

-1）（tan

α

2

+3）=0，
解得：tanα=

1

3

或tanα=-3（舍去），
則tan(

α

2

+

π

4

)=

1 3 +1

1- 1 3

=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了銳角三角函數(shù)定義，二倍角的正切函數(shù)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運(yùn)用公式是解本題的關(guān)鍵．