Question

設在公差為d的等差數列{a_n}和公比為q的等比數列{b_n}中，a₁=b₁=a＞0，a_4n-1=b_4n-1，問是否存在實常數q，使a_2n=b_2n．

Answer 1

分析：要使a_2n=b_2n．需

a1+a4n-1

2

=

b 1b4n-1

，把a_2n=

a1+a4n-1

2

，b_2n=

b 1b4n-1

代入，根據a_4n-1=b_4n-1，和等比數列的通項公式化簡整理得q^4n-2-2q^2n-1+1=0，求得q^2n-1=1為常數，故可判斷存在實常數q使a_2n=b_2n．

解答：解：∵a_2n=

a1+a4n-1

2

，b_2n=

b 1b4n-1

∴要使a_2n=b_2n．需

a1+a4n-1

2

=

b 1b4n-1

∵a_4n-1=b_4n-1，
∴

a+b4n-1

2

=

b 1b4n-1

整理得q^4n-2-2q^2n-1+1=0
解得q^2n-1=1，即q=1
∴存在實常數q，使a_2n=b_2n．

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．特別是利用了等差中項和等比中項的性質．