【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為邊長為2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).

(1)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使得AF∥面PCE,并說明理由;

(2)當(dāng)二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線PB與平面ABCD所成的角.

【答案】(1)見解析;(2)45°

【解析】

(1)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,推導(dǎo)出四邊形AEQF為平行四邊形,從而AF∥EQ,由此能證明AF∥平面PEC.(2)推導(dǎo)出ED⊥CD,PD⊥AD,且從而PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線PB與平面ABCD所成的角.

(1)在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AF∥面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).

理由如下:取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,由題意,F(xiàn)Q∥DC且,AE∥CD且,

故AE∥FQ且AE=FQ.所以,四邊形AEQF為平行四邊形.所以,AF∥EQ,又EQ平面PEC,AF平面PEC,

所以,AF∥平面PEC.

(2)由題意知△ABD為正三角形,所以ED⊥AB,亦即ED⊥CD,又∠ADP=90°,

所以PD⊥AD,且面ADP⊥面ABCD,面ADP∩面ABCD=AD,

所以PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系,

設(shè)FD=a,則由題意知D(0,0,0),F(xiàn)(0,0,a),C(0,2,0),,

,設(shè)平面FBC的法向量為,

則由,令x=1,則,

所以取,顯然可取平面DFC的法向量,

由題意:,所以a=1.

由于PD⊥面ABCD,所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD,

所以∠PBD為直線PB與平面ABCD所成的角,

易知在Rt△PBD中,從而∠PBD=45°,

所以直線PB與平面ABCD所成的角為45°.

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