Question

如圖△ABC，D是∠BAC的平分線
（Ⅰ）用正弦定理證明：=；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設∠ADB=α，∠BAD=β則在△ABD中根據(jù)正弦定理，同時在△ACD中根據(jù)正弦定理由根據(jù)∠BAD=∠DAC，∠DCA=180°-α，進而得出，進而證明=
（Ⅱ）先由余弦定理在△ABC求出BC，再根據(jù)AB=2，AC=1，=求出BD和DC，在△ABD中由余弦定理得求出AD
解答：（Ⅰ）證明：設∠ADB=α，∠BAD=β，則∠ADC=180°-α，∠CAD=β
由正弦定理得，在△ABD中，①
在△ACD中，，②
又sinα=sin（180°-α）③
由①②③得：=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理得
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7.20090209
故BC=
設BD=x，DC=y，則
x+y=④
由（Ⅰ）得
，即x=2y⑤
聯(lián)立④⑤解得x=，y=
故cosB==
在△ABD中，由余弦定理得
AD²=AB²+BD²=2AB•BDcos∠ABD
=4+（）2-2×2××
=
所以AD=．
點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形問題的時候往往通過這兩個定理進行角和邊的互化，故應靈活運用．