Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b．
（1）若a=1，b=0，求積分

∫

2 1

 

f(x)

x2

dx；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)，求b的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

∫

2 1

f(x)

x2

dx=

∫

2 1

(x-1+

1

x

)dx，利用定積分公式能求出結(jié)果．
（2）f′（x）=3x²-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．從而得到f（x）=x³-x²-x+b，由此利用函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)能求出b的取值范圍．
（3）由f′（x）=3x²-2x+a，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上不是單調(diào)函數(shù)，知3x²-2x+a=0在R上有兩個不相等的實(shí)根，且在（-2，2）至少有一個根，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-x²+ax+b，a=1，b=0，
∴

∫

2 1

f(x)

x2

dx
=

∫

2 1

(x-1+

1

x

)dx
=（

1

2

x2-x+lnx）

|

2 1

=ln2+

1

2

．
（2）f′（x）=3x²-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+b，
f′（x）=3x²-2x-1
=3（x-1）（x+

1

3

），
∴當(dāng)x＜-

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
∵f（-

1

3

）=

5

27

+b，f（1）=-1+b，
∴函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)，
∴

5

27

+b＜0，或-1+b＞0，
解得b的取值范圍是（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．
（3）∵f′（x）=3x²-2x+a，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴3x²-2x+a=0在R上有兩個不相等的實(shí)根，
且在（-2，2）至少有一個根，
∴△=4-12a＞0，解得a＜

1

3

．
由?x∈（-2，2），使得：3x²-2x+a=0，
知a=-3x²+2x，∴-16＜a≤

1

3

，
綜上所述，a的取值范圍是（-16，

1

3

）．

點(diǎn)評：本題考查定積分的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．