已知雙曲線C的方程為＝1(a＞0，b＞0)，離心率e＝．

(1)求雙曲線C的漸近線方程；

(2)若A、B分別是兩漸近線上的點，AB是位于第一、四象限間的動弦，△AOB的面積為定值，且雙曲線C過AB的一個三等分點P，試求雙曲線C的方程．

答案：
解析：

　　解析：(1)＝a2＋b2b2＝b＝．

　　∴雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±＝±．

　　(2)令漸近線y＝的傾斜角為α，如下圖：

　　則tanα＝，

　　sin2α＝2sinαcosα

　　＝．

　　可令A(2t1，3t1)，B(2t2，－3t2)．|OA|＝，|OB|＝．

　　∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin2α

　�。�··＝6t1t2．

　　又∵S△AOB＝，∴t1t2＝．

　　由＝2P()，

　　即P(，t1－2t2)．

　　又由b2＝知雙曲線C：＝1，即為x2－＝a2．

　　∵P在雙曲線C上．

　　()2－(t1－2t2)2＝a2(t1＋2t2)2－(t1－2t2)2＝8t1t2＝．

　　又∵t1t2＝，

　　∴a2＝4，

　　∴雙曲線C的方程為＝1．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為：
x2
9
-
y2
16
=1
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）求與雙曲線C有公共的漸近線，且經(jīng)過點A（-3，2
3
）的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），離心率e=
5
2
，頂點到漸近線的距離為
2
5
5
．求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)一模）已知雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1，點A（m，2m）和點B（n，-2n）（其中m和n均為正數(shù)）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個動點，雙曲線C上的點P滿足
AP
=λ•
PB
（其中λ∈[
1
2
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標原點）面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），過右焦點F作雙曲線在一，三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左右的交點分別為A，B
（1）求證：點P在直線x=
a2
c
上（C為半焦距）．
（2）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（3）若|AP|=3|PB|，求離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，它的左、右焦點分別F1，F(xiàn)2，左右頂點為A1，A2，過焦點F2先做其漸近線的垂線，垂足為p，再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差數(shù)列，則離心率e=（　�。�

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