Question

17．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=e^x-1，
（Ⅰ）若F（x）=f（x）+px，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x₂＞x₁＞0，比較f（x₂）-f（x₁）與g（x₂-x₁）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論p的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令G（x）=g（x）-f（x），求出G（x）的導(dǎo)數(shù)，得到G（x）的單調(diào)性，判斷出g（x₂-x₁）＞f（x₂-x₁），f（x₂-x₁）＞f（x₂）-f（x₁），從而比較出大小即可．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=f（x）+px=ln（x+1）+px，
∴F′（x）=$\frac{px+p+1}{x+1}$，
①當(dāng)p=0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴F（x）的遞增區(qū)間是（-1，+∞），
②當(dāng)p＞0時(shí)，F(xiàn)（x）的遞增區(qū)間是（-1，+∞），
③當(dāng)p＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的遞增區(qū)間是（-1，-1-$\frac{1}{P}$），遞減區(qū)間是（-1-$\frac{1}{p}$，+∞）；
（Ⅱ）令G（x）=g（x）-f（x）=e^x-1-ln（x+1），（x＞-1），
∴G′（x）=$\frac{{e}^{x}x{+e}^{x}-1}{x+1}$，
令H（x）=xe^x+e^x-1（x＞-1），
H′（x）=e^x（x+2）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，H（x）＞H（0）=0成立，
∴G′（x）＞0在x＞0上恒成立，
∴G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，G（x）＞G（0）=0恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）-f（x）＞0恒成立，
∴對(duì)于任意的x₂＞x₁＞0時(shí)，g（x₂-x₁）＞f（x₂-x₁），
又x₂-x₁+1-$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}+1}$＞0，
∴l(xiāng)n（x₂-x₁+1）＞ln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=ln（x₂+1）-ln（x₁+1），
∴f（x₂-x₁）＞f（x₂）-f（x₁），
即g（x₂-x₁）＞f（x₂）-f（x₁）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)值的大小比較，是一道綜合題．