Question

18．已知復數z滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為2．
（1）若z對應的點在第三象限，求復數z；
（2）若z對應的點在第一象限，$\overline{z}$是z的共軛復數，若f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ（n∈N⁺），求集合{f（n）}中元素的個數．

Answer 1

分析 設出復數z，利用已知求得z．（1）由z對應的點在第三象限，求得具體復數z；（2）把對應的點在第一象限的z求出，代入f（n）然后分n為奇數和偶數得答案．

解答 解：設z=x+yi（x，y∈R），
由|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為2，得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=2}\\{2xy=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
（1）若z對應的點在第三象限，則復數z=-1-i；
（2）若z對應的點在第一象限，則z=1+i，$\overline{z}$=1-i，
∴$\frac{z}{\overline{z}}$=$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{{（1+i）}^{2}}{（1-i）（1+i）}$=i，$\frac{\overline{z}}{z}$=$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{{（1-i）}^{2}}{（1+i）（1-i）}$=-i，
則f（n）=i²ⁿ+（-i）²ⁿ=2•（-1）ⁿ．
當n為奇數時，f（n）=-2；
當n為偶數時，f（n）=2

點評 本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了復數的基本概念，屬于中檔題．