Question

過橢圓=1（a＞b＞0）右焦點F（2，0）作傾斜角為60°的直線，與橢圓交于A、B兩點，若|BF|=2|AF|，則橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由直線方程的點斜式，可得直線AB的方程為y=（x-2），與橢圓的方程消去x，得（a²+b²）y²+b²y+4b²-a²b²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件得y₁+y₂=-=-y₁，y₁y₂==-2y₁²，消去y₁得關(guān)于a、b的方程，結(jié)合a²=b²+4聯(lián)解，可得a=3，從而得到該橢圓的離心率．
解答：∵直線AB經(jīng)過F（2，0）且傾斜角為60°，
∴AB的斜率k=tan60°=，得直線AB方程為y=（x-2）
將直線AB方程與橢圓=1聯(lián)解，消去x得：（a²+b²）y²+b²y+4b²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=-，y₁y₂=
∵|BF|=2|AF|，
∴y₁+y₂=-y₁=，y₁y₂=-2y₁²=
消去y₁，得-2（）²=…（1）
又∵橢圓的焦點F（2，0）
∴a²=b²+4，代入（1）式化簡整理，得-96b⁴=-3b⁴（4b²+12），解之得b²=5
由此可得a²=9，a=3，所以橢圓的離心率e=
故選：B
點評：本題給出橢圓經(jīng)過右焦點傾角為60度的弦AB被焦點分成1：2的兩部分，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點，屬于基礎(chǔ)題．