Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補出完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）寫出函數(shù)f（x）的解析式和值域．
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），試判斷F（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性即可求出出完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性即可寫出函數(shù)f（x）的解析式和值域．
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可試判斷F（x）的奇偶性，

解答： 解：（1）函數(shù)圖象如圖所示：f（x）的遞增區(qū)間是（-1，0），（1，+∞）．

（2）設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x．
∴f（-x）=x²-2x．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時，f（-x）=x²-2x=f（x）．
即解析式為：f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

，值域為：{y|y≥-1}．
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x），∴F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），
故F（x）是奇函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．