(2012•泉州模擬)已知A1,A2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右頂點(diǎn),橢圓C上異于A1,A2的點(diǎn)P恒滿足kPA1kPA2=-
4
9
,則橢圓C的離心率為( 。
分析:利用斜率公式計(jì)算斜率,可得P的軌跡方程,即為橢圓C,從而可求橢圓的離心率.
解答:解:設(shè)P(x,y),則kPA1kPA2=
y
x+a
×
y
x-a
=-
4
9

x2
a2
+
y2
4
9
a2
=1
,即為P的軌跡方程
∵橢圓C上異于A1,A2的點(diǎn)P恒滿足kPA1kPA2=-
4
9
,
∴該方程即為橢圓C
∴橢圓C的離心率為e=
c
a
=
a2-
4a2
9
a
=
5
3

故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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(Ⅰ)請(qǐng)寫(xiě)出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn;
(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.

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(2012•泉州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+lnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-
12
的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問(wèn):在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個(gè)正數(shù)x1,x2,x3…xk,使得f′(x1)+f'(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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(2012•泉州模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意x1,x2∈D且x1+x2=2a,恒有f(x1)+f(x2)=2b,則稱點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心.研究并利用函數(shù)f(x)=x3-3x2-sin(πx)的對(duì)稱中心,可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=( 。

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