已知函數(shù)f（x）=
1x2+1

（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（2）求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值與最小值．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，從而求得函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值與最小值．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=
1
x2+1
 在（-∞，0）上的導(dǎo)數(shù) f′（x）=
-2x
(1+x2 )2
＞0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
（2）∵函數(shù)f（x）=
1
x2+1
 在（0，+∞）上的導(dǎo)數(shù) f′（x）=
-2x
(1+x2 )2
＜0，
∴函數(shù)f（x）=
1
x2+1
 在[1，3]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為 f（1）=
1
2
，當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為 f（3）=
1
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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