Question

17．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，有f（x+4）=f（x）-f（8），且當(dāng)x∈[2，4]時，f（x）=-2x+8．若函數(shù)y=f（x）-e^x-a在x∈（0，+∞）上至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[5-ln2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出f（8）=0，得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x+4）=f（x）-f（8），
∴令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）-f（8），
即f（2）=f（2）-f（8），
則f（8）=0，
即f（x+4）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[2，4]時，f（x）=-2x+8．
∴當(dāng)x∈[-2，0]時，x+4∈[2，4]，
則f（x）=f（x+4）=-2（x+4）+8=-2x．（x∈[-2，0]），
當(dāng)x∈[0，2]時，-x∈[-2，0]
若f（x）=f（-x）=2x，．（x∈[0，2]），
由y=f（x）-e^x-a=0，得f（x）=e^x-a，
作出函數(shù)f（x）和g（x）=e^x-a在∈（0，+∞）上的圖象如圖：
當(dāng)x∈[4，6]時，x-4∈[0，2]時，
則f（x）=f（x-4）=2（x-4）=2x-8．x∈[4，6]時，
當(dāng)g（x）=e^x-a與f（x）=2x-8．x∈[4，6]相切時，
設(shè)切點為（m，2m-8），
則滿足g′（m）=e^m-a=2，e^m-a=2m-8，
則2m-8=2，得2m=10，m=5，
即切點坐標(biāo)為（5，2），
要使函數(shù)y=f（x）-e^x-a在x∈（0，+∞）上至少有3個零點，
則滿足g（5）≤2，
即e^5-a≤2，則5-a≤ln2，
則a≥5-ln2，
故答案為：[5-ln2，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，和一個函數(shù)在周期上的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點問題，根據(jù)曲線相切的條件求出切點是解決本題的關(guān)鍵．