Question

設(shè)F₁F₂別是橢圓D：的左、右焦點，過F₂斜角為的直線交橢圓D于A、B點，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）作直線l與橢圓D交于不同的兩點P，Q，其中P點的坐標(biāo)為（-A，0），若點N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點，且滿足，求實數(shù)t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0，
由題意得AB的方程為：y=（x-c），
因F₁到直線AB的距離為3，所以有=3，解得c=，
所以有a²-b²=c²=3，①
由題意知：，即ab=2，②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，
所求橢圓D的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁），
根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韋達(dá)定理得-2+x₁=-，則，，
所以線段PQ的中點坐標(biāo)為，
（1）當(dāng)k=0時，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，
于是，，
由=4，解得：t=；
（2）當(dāng)k≠0時，則線段PQ垂直平分線的方程為y-=-，
因為點N（0，t）是線段PQ垂直平分線上的一點，
令x=0，得：t=-，
于是，，
由==4，解得：k=，
代入t=-，解得：t=，
綜上，滿足條件的實數(shù)t的值為t=或t=．
分析：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0，由點斜式可得AB方程，由F₁到直線AB的距離為3，得=3，解出得c，由菱形面積為4得，再由a²-b²=c²=3即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁），易知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可用k表示x₁，代入直線方程得y₁，從而可得線段PQ中點坐標(biāo)，分情況討論：當(dāng)k=0時由易求t值；當(dāng)k≠0時由點斜式可得垂直平分線方程，把點N坐標(biāo)代入該方程可用k表示出t，再由可求得k，進而可得t值，綜合兩種情況可得t值；
點評：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．