Question

已知函數f₁（x）=-ax²，f₂（x）=x³+x²，f（x）=f₁（x）+f₂（x），設f（x）的導函數為f′（x），若不等式f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，-ax²＜3x²+2（1-a）x可化為（a+3）x+2（1-a）＞0，由一次函數的性質可求a的范圍；3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化為2a＞-x²+2x+2，由二次函數的性質求出函數的最值即可．

解答： 解：f（x）=-ax²+x³+x²=x³+（1-a）x²，f′（x）=3x²+2（1-a）x，
f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，
-ax²＜3x²+2（1-a）x，可化為（a+3）x+2（1-a）＞0，
∴

a+3≥0 a+3+2(1-a)≥0

，解得-3≤a≤5①；
3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化為2a＞-x²+2x+2，
而-x²+2x+2=-（x-1）²+3＜3，
∴2a≥3，即a≥

3

2

②，
由①②可得

3

2

≤a≤5，
∴實數a的取值范圍是[

3

2

，5]．
故答案為：[

3

2

，5]．

點評：該題考查導數的運算、函數恒成立，考查不等式的求解，考查學生的轉化能力．