Question

過(guò)直線l：y=2x上一點(diǎn)P作圓C：（x-8）²+（y-1）²=2的切線l₁，l₂，若l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P到圓心C的距離為

 

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)判定發(fā)現(xiàn)，圓心不在已知直線上，由對(duì)稱(chēng)性可知，只有直線y=2x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=2x，從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=2x對(duì)稱(chēng)．由直線y=2x的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出該點(diǎn)與圓心連線方程的斜率，由圓心坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出此直線的方程，與已知直線方程聯(lián)立求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出此時(shí)這個(gè)點(diǎn)到圓心C的距離．

解答：解：顯然圓心（8，1）不在直線y=2x上．
由對(duì)稱(chēng)性可知，只有直線y=2x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=2x，從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=2x對(duì)稱(chēng)．
所以該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程為：y-1=-

1

2

（x-8），即x+2y-10=0，
與y=2x聯(lián)立可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
所以該點(diǎn)到圓心的距離為：

(8-2)2+(1-4)2

=3

5

．
故答案為：3

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及兩點(diǎn)間的距離公式．由對(duì)稱(chēng)性得到該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程與直線l垂直是解本題的關(guān)鍵．