Question

設(shè)f(x)= x e-2+x2 ，g(x)= ex x ，對?x1，x2∈R+，有 f(x1) k ≤ g(x2) k+1 恒成立，

則正數(shù)的k取值范圍（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，+∞）
• C．[1，+∞）
• D．[

  1

  2e2-1

  ，+∞)

Answer 1

分析：當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，則只要

f(x1)

k

 max≤

g(x2)

k+1

 min即可，從而對函數(shù)f（x）利用基本不等式求解最大值，對函數(shù)g（x）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而求解函數(shù)g（x）的最小值，代入可求k的范圍

解答：解：當(dāng)x＞0時，由基本不等式可得，f（x）=

x

e-2+x2

=

1

x+ 1 e2x

≤

1

2 x• 1 e2x

=

e

2

∵g(x)=

ex

x

∴g′(x)=

(x -1)ex

x2

當(dāng)x≥1時，g′（x）≥0；x＜1時g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增
從而可得當(dāng)x=1時函數(shù)g（x）有最小值e
當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0
則只要

f(x1)

k

 max≤

g(x2)

k+1

 min即可
即

e

2k

≤

e

k+1

，解可得k≥1
故選：C

點評：本題主要考查了由函數(shù)的恒成立問題求解參數(shù)的取值范圍的問題，解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，還要注意在本題中求解函數(shù)最值時用的兩種方法：基本不等式及由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性質(zhì)求最值．