Question

8．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且a_n=$\sqrt{{S_{2n-1}}}（{n∈{N^*}}）$．若不等式$\frac{λ}{a_n}$≤$\frac{n+8}{n}$對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的最大值為9．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列求和公式化簡已知條件，求出數(shù)列的通項公式，然后化簡不等式，分離變量λ，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：${a_n}=\sqrt{{S_{2n-1}}}⇒{a_n}=\sqrt{\frac{{（2n-1）（{a_1}+{a_{2n-1}}）}}{2}}=\sqrt{（2n-1）{a_n}}$，
$⇒a_n^2=（2n-1）{a_n}$
⇒a_n=2n-1，n∈N^*．
$\frac{λ}{a_n}≤\frac{n+8}{n}$就是$λ\;≤\;\frac{（n+8）（2n-1）}{n}⇒λ\;≤\;2n-\frac{8}{n}+15$．
$2n-\frac{8}{n}+15$在n≥1時單調(diào)遞增，其最小為9，所以λ≤9，
故實數(shù)λ的最大值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．