對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)定義:設(shè)f′′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f′(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0f(x))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+5x+4,請回答下列問題.(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標(biāo)
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論;
(3)寫出一個三次函數(shù)G(x),使得它的“拐點”是(1,3)(不要過程)
(1)依題意,得:f′(x)=3x2-12x+5,∴f′′(x)=6x-12=0,得x=2
所以拐點坐標(biāo)是(2,-2)
(2)設(shè)(x1,y1)與(x,y)關(guān)于(2,-2)中心對稱,并且(x1,y1)在f(x),所以就有
x1=4-x
y1=-4-y
,
由y1=x13-6x12+5x1+4,得-4-y=(4-x)3-6(4-x)2+5(x-4)+4
化簡的:y=x3-6x2+5x+4
所以(x,y)也在f(x)上,故f(x)關(guān)于點(2,-2)對稱.
三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐點”是(-
b
3a
,f(-
b
3a
)),它就是函數(shù)f(x)的對稱中心
(或者:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)).
(3),G(x)=a(x-1)3+b(x-1)2+3(a≠0),或?qū)懗鲆粋具體函數(shù),如G(x)=x3-3x2+3x+2,或G(x)=x3-3x2+5x
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”;
定義:(2)設(shè)x0為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(x0,f(x0))對稱.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,請回答下列問題:
(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標(biāo)
 
;
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,請你根據(jù)上面探究結(jié)果,解答以下問題
(1)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
1
2
,1)
1
2
,1)
;
(2)計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且拐點就是對稱中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義:設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”,且‘拐點’就是對稱中心.請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件.
(1).函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心為
(1,2)
(1,2)

(2).若函數(shù)g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•安慶三模)對于三次函數(shù)f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)ft(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),ftt(x)是函數(shù)ft的導(dǎo)數(shù),若方程ftt(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個一元三次函數(shù)都有“拐點”;且該“拐點”也為該函數(shù)的對稱中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,則f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=( 。

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