Question

如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）設(shè)AB=AA₁=2，點(diǎn)C為圓柱OO₁底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，記三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V．
①求V的最大值；
②記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當(dāng)V取最大值時(shí)，求cosθ的值；
③當(dāng)V取最大值時(shí)，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)P到直線B₁C₁的距離等于它到直線AC的距離，求動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C距離|PC|的最值．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（2）①解法一：利用三棱柱的體積公式和基本不等式的性質(zhì)即可求出；解法二：利用三棱柱的體積計(jì)算公式和三角函數(shù)的單調(diào)性和最值即可求出；
②通過建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出此兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角和二平面的二面角的關(guān)系即可求出；
③建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別表示出有關(guān)的距離，列出方程即可得出．

解答：（1）證明：∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC．
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC．
又AC∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁ACC₁
而BC?平面B₁BCC₁，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（2）①解法一：由已知圓柱的底面半徑為1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
又∵AC²+BC²=AB²=4，∴AC•BC≤

AC2+BC2

2

=2，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=

2

時(shí)等號(hào)成立．
從而，V_max=2，當(dāng)AC=BC=

2

時(shí)取得最大值．
解法二：由已知圓柱的底面半徑為1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
設(shè)∠BAC=α（0°＜α＜90°），則AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα．
由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=1即α=45°時(shí)等號(hào)成立，故V_max=2．
②由①知，V取最大值時(shí)，OC⊥AB．于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則C（1，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∵BC⊥平面A₁ACC₁，∴

BC

=(1，-1，0)是平面A₁ACC₁的一個(gè)法向量．
設(shè)平面B₁OC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n ⊥ OC n ⊥ OB1

得

x=0 y+2z=0

，
令z=1，則y=-2．
得平面B₁OC的一個(gè)法向量為

n

=(0，-2，1)．
∵0°＜θ≤90°，∴cosθ=|cos＜

n

，

BC

＞|=

| n • BC |

| n | | BC |

=

2

5 × 2

=

10

5

．
③以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸正方向，CC₁為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xCy，
則設(shè)P（x，y），C（0，0），C₁（0，2），A1(-

2

，2)，A(-

2

，0)，
動(dòng)點(diǎn)P到直線B₁C₁的距離即為|PC₁|，到直線AC的距離等于|y|，
∴

x2-(y-2)2

=|y|，化簡得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y=

x2

4

+1(-

2

≤x≤0)，其軌跡為以CC₁的中點(diǎn)（0，1）為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線的一段，-

2

≤x≤0．
∴|PC|=

x2+y2

=

4y+4+y2

=

(y+2)2-8

，
由-

2

≤x≤0得1≤y≤

3

2

，∴當(dāng)y=1時(shí)，|PC|_min=1；y=

3

2

時(shí)，|PC|max=

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理，三棱柱的體積公式及基本不等式的性質(zhì)或三角函數(shù)求最值，二面角的平面角和拋物線的定義等內(nèi)容，熟練掌握有關(guān)的知識(shí)與方法是解題的關(guān)鍵．