Processing math: 100%
10.在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=2anan+2(n∈N*).
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項公式的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

分析 (1)利用遞推式直接求:
(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

解答 解:(Ⅰ)∵a1=1,且an+1=2anan+2(n∈N*),
a2=2a1a1+2=21+2=23a3=2a2a2+2=2×2323+2=12,
a4=2a3a3+2=2×1212+2=25.…(6分)
(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*).…(9分)
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)n=1時,左邊=a1,右邊=21+1=1=a1,因此,左邊=右邊.
所以,當(dāng)n=1時,猜想成立.…(10分)
②假設(shè)n=k(k>1,k∈N*)時,猜想成立,即ak=2k+1
那么n=k+1時,ak+1=2akak+2=2×2k+12k+1+2=2k+1+1
所以,當(dāng)n=k+1時,猜想成立.…(11分)
根據(jù)①和②,可知猜想成立.…(12分)

點評 本題考查了數(shù)列中的歸納法思想,及證明基本步驟,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.下列說法正確的是(  )
A.以直角三角形一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B.用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺
C.正棱錐的棱長都相等
D.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.從區(qū)間[-2,9]中任取一個實數(shù)a,則恰使得函數(shù)f(x)=ln(ax2-2x+a)存在最大值或最小值的概率為( �。�
A.111B.811C.911D.1011

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.現(xiàn)有某批次同一型號的產(chǎn)品共10件,其中有8件合格品,2件次品.
(Ⅰ)某檢驗員從中有放回地連續(xù)抽取產(chǎn)品2次,每次隨機(jī)抽取1件,求兩次都取到次品的概率;
(Ⅱ)若該檢驗員從中任意抽取2件,用X表示取出的2件產(chǎn)品中次品的件數(shù),求X的分布列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.四棱錐S-ABCD中SA⊥底面ABCD,ABCD是正方形,且SA=AB,若點E是SA的中點.
(1)求證:SC∥平面EBD;
(2)求二面角S-CD-B的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(Sn-1)2=anSn
(Ⅰ)求S1、S2、S3;
(Ⅱ)猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)字歸納法證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,向量m=(3sinA,sinB),n=(cosB,3cosA),若mn=1-cos(A+B),則C等于( �。�
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.設(shè)雙曲線x2a2y2b2=1的半焦距為c,(a,0)、(0,b)為直線l上兩點,已知原點到直線l的距離為34c,則雙曲線的離心率為( �。�
A.233B.3或2C.2D.2或 233

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.(1)已知a,b,c均為正實數(shù),且a+b+c=1,求證:1a+1+1c≥9;
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:2ac3a.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案