Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1nx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x），求證：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大、最小值分別為f（1）、f（e），
因?yàn)閒（1）=，f（e）=，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為，最小值為；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=
=
=，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥．
分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)易證明；當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)不等式左邊運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，再用基本不等式即可證明；
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二項(xiàng)式定理、基本不等式等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．