Question

已知函數(shù)f（x）＝lnx－a2x2＋ax（aR）.

（l）當(dāng)a＝1時，證明：函數(shù)f（x）只有一個零點；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，十）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分析問題解決問題的能力和計算能力，考查分類討論思想.第一問，將代入確定的解析式，先求函數(shù)的定義域，這是解題的前題，函數(shù)只有一個零點等價于圖像與x軸只有一個交點，對求導(dǎo)，利用，判斷函數(shù)的增減區(qū)間，判斷出當(dāng)時，，從而證明出圖像與x軸只有一個交點；第二問，對中的參數(shù)a進行討論，當(dāng)時，與題干矛盾，當(dāng)時，得到的減區(qū)間為，由題干分析可知，是的子集，所以得到和1的大小關(guān)系，當(dāng)時，同理得到與1的大小，從而綜合上述情況得到a的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝lnx－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，

又，

令f′(x)＝0，即，解得或x＝1.又x>0，∴x＝1.

當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＞0；當(dāng)x＞1時，f′(x)＜0.

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)取得最大值，其值為f(1)＝ln1－12＋1＝0.

當(dāng)x≠1時，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.

∴函數(shù)f(x)只有一個零點.（7分）

(2)顯然函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定義域為(0，＋∞)，

∴.

①當(dāng)a＝0時，，∴f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意；

②當(dāng)a>0時，f′(x)＜0，得，∴，即a≥1；

③當(dāng)a<0時，f′(x)＜0，得，∴，a≤－.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是.（14分）

考點：1.函數(shù)零點問題；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.