Question

10．如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．
注：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份2008-2014．
（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；
（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．
附注：
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{7}$y_i=9.32，$\sum_{i=1}^{7}$t_iy_i=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^{7}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat$t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；
（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2016年對(duì)應(yīng)的t值為9，代入可預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．

解答 解：（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：
∵r=$\frac{\sum _{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum _{i=1}^{7}{（{t}_{i}-\overline{t}）}^{2}\sum _{i=1}^{7}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}$=$\frac{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}-7\overline{t}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{7}{（{t}_{i}-\overline{t}）}^{2}\sum _{i=1}^{7}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}$≈$\frac{40.17-4×9.32}{2\sqrt{7}•0.55}$≈$\frac{2.89}{2.9106}$≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系；
（2）$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}-7\overline{t}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}^{2}-7{\overline{t}}^{2}}$≈$\frac{2.89}{28}$≈0.103，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$≈1.331-0.103×4≈0.92，
∴y關(guān)于t的回歸方程$\hat{y}$=0.10t+0.92，
2016年對(duì)應(yīng)的t值為9，
故$\hat{y}$=0.10×9+0.92=1.82，
預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性回歸方程，回歸分析，計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)要細(xì)心．