Question

【題目】對于無窮數(shù)列{an}，記T={x|x=aj﹣ai ， i＜j}，若數(shù)列{an}滿足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（t）． （Ⅰ）若數(shù)列{an}滿足 判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P（2）？是否具有性質(zhì)P（4）？
（Ⅱ）求證：“T是有限集”是“數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（0）”的必要不充分條件；
（Ⅲ）已知{an}是各項為正整數(shù)的數(shù)列，且{an}既具有性質(zhì)P（2），又具有性質(zhì)P（5），求證：存在整數(shù)N，使得aN ， aN+1 ， aN+2 ， …，aN+k ， …是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（2）；

同理可得，數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（4）．

（Ⅱ）（不充分性）對于周期數(shù)列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，

所以不具有性質(zhì)P（0）；

（必要性）因為數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（0），

所以一定存在一組最小的且m＞k，滿足am﹣ak=0，即am=ak

由性質(zhì)P（0）的含義可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m﹣k﹣1=am﹣1，a2m﹣k=am，…

所以數(shù)列{an}中，從第k項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律：ak，ak+1，…，am﹣1為一個周期中的各項，

所以數(shù)列{an}中最多有m﹣1個不同的項，

所以T最多有 個元素，即T是有限集．

（Ⅲ）因為數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（2），數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（5），

所以存在M′、N′，使得aM'+p﹣aM'=2，aN'+q﹣aN'=5，其中p，q分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)P（2），P（5）的含義可得，aM'+p+k﹣aM'+k=2，aN'+q+k﹣aN'+k=5，

若M'＜N'，則取k=N'﹣M'，可得aN'+p﹣aN'=2；

若M'＞N'，則取k=M'﹣N'，可得aM'+q﹣aM'=5．

記M=max{M'，N'}，則對于aM，有aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5，顯然p≠q，

由性質(zhì)P（2），P（5）的含義可得，aM+p+k﹣aM+k=2，aN+q+k﹣aN+k=5，

所以aM+qp﹣aM=（aM+qp﹣aM+（q﹣1）p）+（aM+（q﹣1）p﹣aM+（q﹣2）p）+…+（aM+p﹣aM）=2qaM+qp﹣aM=（aM+pq﹣aM+（p﹣1）q）+（aM+（p﹣1）q﹣aM+（p﹣2）q）+…+（aM+q﹣aM）=5p

所以aM+qp=aM+2q=aM+5p．

所以2q=5p，

又p，q是滿足aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5的最小的正整數(shù)，

所以q=5，p=2，aM+2﹣aM=2，aM+5﹣aM=5，

所以，aM+2+k﹣aM+k=2，aM+5+k﹣aM+k=5，

所以，aM+2k=aM+2（k﹣1）+2=…=aM+2k，aM+5k=aM+5（k﹣1）+5=…=aM+5k，

取N=M+5，則，

所以，若k是偶數(shù)，則aN+k=aN+k；

若k是奇數(shù)，則aN+k=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+k，

所以，aN+k=aN+k

所以aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是公差為1的等差數(shù)列

【解析】（Ⅰ）由 可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（2）；同理可判斷數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（4）．（Ⅱ）舉例“周期數(shù)列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定義可證數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（0），即不充分性成立；再證明其必要性即可．（Ⅲ）依題意，數(shù)列{an}是各項為正整數(shù)的數(shù)列，且{an}既具有性質(zhì)P（2），又具有性質(zhì)P（5），可證得存在整數(shù)N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差數(shù)列．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的通項公式，掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．