Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數(shù)f（x）=2x•tan2α+sin（2α+

π

4

），數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（

1

2

a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，求出2α=

π

4

，由此推導出f（x）=2x+1．
（2）由已知條件推導出a_n+1=a_n+1，所以{a_n}是首項為a₁=1，公差d=1的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
∵α是銳角，∴2α=

π

4

．…（4分）
∴sin（2α+

π

4

）=1，∴f（x）=2x+1．…（6分）
（2）∵a₁=1，an+1=f(

1

2

an)，∴a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，（常數(shù)） …（8分）
∴{a_n}是首項為a₁=1，公差d=1的等差數(shù)列，
∴a_n=n，…（10分）
∴Sn=

n(n+1)

2

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)表達式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，是中檔題．