Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{x-1}，\;x≤0\\{log_2}x，\;x＞0.\end{array}\right.$
①若a=1，且關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，0）；
②若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 ①當(dāng)a=1時(shí)，作出函數(shù)f（x）的圖象求出函數(shù)f（x）的范圍，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
②利用換元法設(shè)t=f（x），則f（t）=0，先求出t的值，結(jié)合函數(shù)f（x）=t的根的情況進(jìn)行討論即可．

解答 解：①若a=1，此時(shí)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}x，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，
則-1≤k＜0，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，0）；
②若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)t=f（x），則f（t）=0，
當(dāng)t＞0時(shí)，由f（t）=0，得log₂t=0，則t=1，
當(dāng)t＜0時(shí)，$\frac{a}{t-1}$=0，若a=0，此時(shí)f（f（x））=0有無(wú)數(shù)個(gè)解，不滿足條件．
則a≠0，此時(shí)，$\frac{a}{t-1}$=0此時(shí)方程無(wú)解．
當(dāng)t＞0時(shí)，由log₂x=t有一個(gè)解，
則若方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)根，
則等價(jià)為當(dāng)x≤0時(shí)，$\frac{a}{x-1}$≤0，
∵x≤0，∴x-1≤-1．
則a≥0，
∵a≠0，
∴a＞0，
當(dāng)a＜0時(shí)，滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}＜1}\\{\frac{a}{x-1}＞0}\end{array}\right.$，
∵x＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞x-1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
則-1＜a＜0，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞），
故答案為：[-1，0）；（-1，0）∪（0，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．