Question

14．把函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的敘述正確的是（　�。�

• A． g（x）的一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{12}$
• B． g（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． 在（0，π）上單調(diào)遞減
• D． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{13π}{12}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)稱

Answer 1

分析 利用已知及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$，由x-$\frac{π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的一條對(duì)稱軸方程可判斷A，由g（x）∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，可判斷B；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，可判斷C；由x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得g（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)，可判斷D，從而得解．

解答 解：∵把函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
再把所得圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
∴由x-$\frac{π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的一條對(duì)稱軸方程為：x=kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，可得A錯(cuò)誤；
由g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，可得B錯(cuò)誤；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ+$\frac{7π}{12}$，2kπ+$\frac{19π}{12}$]，k∈Z，可得C錯(cuò)誤；
由x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得g（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)為：（kπ+$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，為（$\frac{13π}{12}$，$\frac{1}{2}$），可得D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．