Question

 

已知如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點(diǎn)E在棱PD上，且DE=2PE.

（1）求異面直線PA與CD所成的角的大小；

    （2）求證：BE⊥平面PCD；

    （3）求二面角A—PD—B的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA、BP為x，y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

 

（1）

…4分

．

（2）

 

   

.

                                  9分

（3）設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為.

令

，設(shè)平面PBD的法向量為

令

                                15分

又二面角A—PD—B為銳二面角，故二面角A—PD—B的大小為．

解法二：（1）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)AF，則CF=AD，且CF∥AD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥CD.

∴∠PAF（或其補(bǔ)角）為異面直線PA與CD所成的角.

∵PB⊥平面ABCD,  ∴PB⊥BA，PB⊥BF.

∵PB=AB=BF=1， ∴PA=PF=AF=.

即異面直線PA與CD所成的角等于．       4分

（2）

，

則.

．          

由（1）知，..

                          9分

（3）設(shè)AF與BD的交點(diǎn)為O，則.

過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連結(jié)AH，則.

的平面角。

在.

在.

在.

．         15分