Question

過(guò)定點(diǎn)P（1，2）的直線(xiàn)在x軸與y軸正半軸上的截距分別為a、b，則4a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

分析：把定點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)的截距式方程，使用基本不等式，對(duì)于4a²+b²也使用基本不等式，注意等號(hào)成立的條件是否具備．

解答：解；∵過(guò)定點(diǎn)P（1，2）的直線(xiàn)在x軸與y軸正半軸上的截距分別為a、b，
把點(diǎn)P（1，2）代入直線(xiàn)的截距式方程得：

1

a

+

2

b

=1≥2

2 ab

，∴ab≥8（當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時(shí)取等號(hào)），
又由基本不等式得：4a²+b²≥4ab（當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào)），∴4a²+b²≥4ab≥32，（當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時(shí)取等號(hào)），
4a²+b²的最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題及基本不等式的應(yīng)用．