Question

已知函數f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b為常數）．

（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數），求b的值；

（2）設函數f（x）的導函數為，若存在唯一的實數x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時成立，求實數b的取值范圍；

（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函數F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：(1)求導，利用導數的幾何意義得到解即可；（2）求導，根據條件列出關于的方程組，消去，化成關于的一元三次方程，構造函數，進行求導，利用三次方程有唯一解進行求的范圍；（3）構造函數，進行求導，將函數有極值轉化為導函數為0有兩個不相等的實根進行求解.

規(guī)律總結：三次函數零點的個數的判定：首先利用導數求出三次函數的極值，設極小值為，極大值為；①若，則有三個不等的零點；②若或，則有兩個不等的零點；③若或，則有一個零點.

試題解析：（1）∵ 所以直線的，當時，，將（1，6）代入，得.

（2） ，由題意知消去，

得有唯一解．

令，則，

所以在區(qū)間（-∞，-），區(qū)間（-，+∞）上是增函數，在上是減函數，

又，故實數的取值范圍是.

（3）

因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根.

記方程的兩根為由韋達定理，所以方程的根必為兩不等正根.

所以滿足方程判別式大于零

故所求取值范圍為.

考點：1.導數的幾何意義；2.利用導數研究函數的零點個數；3.利用導數研究函數的極值.