Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，滿足a_n+a_n+1=4n+2（n∈N^*），其前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4對任意n∈N^*的恒成立；
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）是否存在p，q∈N^*，使得（a_2p+2）²-b_q=392成立，若存在，求出所有滿足條件的p，q，若不存在，說明理由；
（3）記集合M={n|

Sn

bn

≥λ，n∈N^*}，若M中共有5個元素，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1+a2=2a1+d=6 a2+a3=2a1+3d=10

，解得d=2，a₁=2，由此能求出a_n=2n．由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，得a_nb_n=n•2^n-1，由此能求出b_n=2ⁿ．
（2）假設存在p，q∈N^*，使得（a_2p+2）²-b_q=392成立，則（p+1）²=

392+2q

16

，由52=

392+23

16

，能求出p=4，q=3．
（3）由M={n|

n2+n

2n

≥λ，n∈N^*}中共有5個元素，分別取n=1，2，3，4，5，6，求出相應的結果，由此能求出

21

32

＜λ≤

15

16

．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，滿足a_n+a_n+1=4n+2（n∈N^*），
得

a1+a2=2a1+d=6 a2+a3=2a1+3d=10

，解得d=2，a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1（n≥2），
兩式相減可得a_nb_n=n•2^n-1，
∴b_n=

n•2n-1

2n

=2ⁿ．
（2）假設存在p，q∈N^*，使得（a_2p+2）²-b_q=392成立．
∵（a_2p+2）²-b_q=392，
∴（4p+4）²-2^q=392，
∴16（p+1）²=392+2^q，
∴（p+1）²=

392+2q

16

，
∵52=

392+23

16

，
∴p=4，q=3．
（3）∵d=2，a₁=2，
∴Sn=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n，M={n|

Sn

bn

≥λ，n∈N^*}，

Sn

bn

=

n2+n

2n

∵M={n|

n2+n

2n

≥λ，n∈N^*}中共有5個元素，
∴當n=1時，λ≤

1+1

2

=1，
當n=2時，λ≤

4+2

4

=

3

2

，
當n=3時，λ≤

9+3

8

=

3

2

，
當n=4時，λ≤

16+4

16

=

5

4

，
當n=5時，λ≤

25+5

32

=

15

16

，
當n=6時，λ＞

36+6

64

=

21

32

，
∴

21

32

＜λ≤

15

16

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．