Question

【題目】設(shè)橢圓，其長軸長是短軸長的倍，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)是橢圓上橫坐標(biāo)大于的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，試判斷點(diǎn)在何位置時(shí)的長度最小，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的長度最小.見解析.

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組，解得；

（2）先設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)斜式得直線的方程，再根據(jù)直線與圓相切列等量關(guān)系得，類似可得，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理解得，根據(jù)點(diǎn)滿足橢圓方程，代入化簡得，最后根據(jù)范圍以及函數(shù)單調(diào)性求最值，即得結(jié)果.

(1)由已知，

因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為，，

解得，故所求橢圓方程為.

(2)設(shè)，.

不妨設(shè)，則直線的方程為，即，

又圓心到直線的距離為，即，

化簡得同理，，

是方程的兩個(gè)根，

，則，

是橢圓上的點(diǎn)，∴，.

令，令，則，

，

當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的長度最小.