如圖,已知曲線C:y=x2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點A1,過A1作x軸的垂線交曲線C于P1,過P1作y軸的垂線交RQ于B1,記a1為矩形A1P1B1Q的面積.分別取線段OA1,P1B1的中點A2,A3,過A2,A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2,P3,過P2,P3分別作y軸的垂線交A1P1,RB1于B2,B3,記a2為兩個矩形A2P2B2 A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推,記an為2n-1個矩形面積之和,從而得數(shù)列{an},設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn

(I)求a2與an;
(Ⅱ)求Sn,并證明Sn

(I) ;(Ⅱ)見解析.

解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意先寫出各點坐標(biāo),再分別求,然后總結(jié)與曲線交點坐標(biāo),從而再求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知的表達(dá)式,先把變形為差的形式,再求表達(dá)式,利用等比數(shù)列前項和公式求,然后把進(jìn)行比較,即得證.
試題解析:(I) 由題意知P1(),故a1×
又P2(,),P3(),
故a2×[]=×(12+32-22)=
由題意,對任意的k=1,2,3,,n,有
(),i=0,1,2,,2k-1-1,
故an×[++]
×[12+32-22+52-42+…+(2n-1)2-(2n-2)2]
×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+…+[4×(2n-1-1)+1]}
×

所以a2,an,n∈N*.        10分
(Ⅱ)由(I)知an,n∈N*,
故Sn
又對任意的n∈N*,有>0,
所以Sn?.               14分
考點:1、遞推公式;2、等比數(shù)列的前n項和公式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知數(shù)列{an}的相鄰兩項anan+1是關(guān)于x的方程x2-2nxbn=0的兩根,且a1=1.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)設(shè)函數(shù)f(n)=bnt·Sn(n∈N*),若f(n)>0對任意的n∈N*都成立,求t的取值范圍.

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在數(shù)列中,.
(1)求
(2)設(shè),求證:為等比數(shù)列;
(3)求的前項積

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等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.

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已知數(shù)列,是其前項的和,且滿足,對一切都有成立,設(shè)
(1)求;
(2)求證:數(shù)列 是等比數(shù)列;
(3)求使成立的最小正整數(shù)的值.

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已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,且.(Ⅰ)求;
(Ⅱ)令,不等式的解集為,求所有的和.

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數(shù)列項和,數(shù)列滿足),
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:當(dāng)時,數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項和為,若數(shù)列中只有最小,求的取值范圍.

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已知數(shù)列滿足:①;②對于任意正整數(shù)都有成立.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)若,求數(shù)列的前項和.

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已知數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
(1)若,求數(shù)列的前項和;
(2)若存在正整數(shù),使得.試比較的大小,并說明理由.

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