【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形， 平面， ，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證得平面；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合半平面的法向量可得二面角的余弦值是

試題解析：

（1）連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié).

∵是菱形，∴是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴.∵平面， 平面，∴平面.

（2）∵是菱形，且，∴是正三角形.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線為軸， 所在直線為軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則.

所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得 ，令，則，∴，

∵平面， 平面，∴.

∵，∴.

∵是菱形，∴.

∵，∴平面.

∴是平面的一個(gè)法向量， ，∴，

∴二面角的余弦值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】下面程序的功能是(　　)

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B. 求2×4×6×8×…×10 000的值

C. 求3×5×7×9×…×10 001的值

D. 求滿足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整數(shù)n

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【題目】(1)求經(jīng)過(guò)兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程；

(2)求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．

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【題目】學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各50名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如表：

古文迷

非古文迷

合計(jì)

男生

26

24

50

女生

30

20

50

合計(jì)

56

44

100

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷能否有的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)？

（2）先從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行理科學(xué)習(xí)時(shí)間的調(diào)查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)；

（3）現(xiàn)從（2）中所抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的調(diào)查，記這3人中“古文迷”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.321

3.841

5.024

6.635

參考公式： ，其中．

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【題目】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素，的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：

當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素，滿足且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品

（1）若甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；

（2）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】甲、乙二人同時(shí)從地趕住地，甲先騎自行車(chē)到兩地的中點(diǎn)再改為跑步；乙先跑步到兩地的中點(diǎn)再改為騎自行車(chē)，最后兩人同時(shí)到達(dá)地．已知甲騎自行車(chē)比乙騎自行車(chē)的速度快，且兩人騎車(chē)的速度均大于跑步的速度．現(xiàn)將兩人離開(kāi)地的距離與所用時(shí)間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示如下：

則上述四個(gè)函數(shù)圖象中，甲、乙兩人運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系的圖象應(yīng)該分別是（ ）

A. 圖①、圖② B. 圖①、圖④ C. 圖③、圖② D. 圖③、圖④

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【題目】已知集合．對(duì)于， ，定義與之間的距離為．

（Ⅰ）寫(xiě)出中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；

（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫(xiě)出此時(shí)的集合；

（Ⅲ）設(shè)集合， 中有個(gè)元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

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【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，以為對(duì)角線作正方形，記直線與軸的交點(diǎn)為，問(wèn)、兩點(diǎn)間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類(lèi)節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人），如莖葉圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損．

(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率；

(2)隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺．現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間(單位：小時(shí))與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示），

年齡x（歲）

20

30

40

50

周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間y（小時(shí)）

2.5

3

4

4.5

由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程y=bx+a，并預(yù)測(cè)年齡為50歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間．

參考公式：a=y-bx．

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