規(guī)定Axm=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m為正整數(shù),且Ax0=1,這是排列數(shù)Anm(n,m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求A-153的值;
(2)排列數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):①Anm=nAn-1m-1,②Anm+mAnm-1=An+1m.(其中m,n是正整數(shù))是否都能推廣到Axm(x∈R,m是正整數(shù))的情形?若能推廣,寫出推廣的形式并給予證明;若不能,則說明理由;
(3)確定函數(shù)Ax3的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)根據(jù)Axm=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m為正整數(shù),寫出A-153的表示式,再做出結(jié)果,做法同一般的排列數(shù)相同.
(2)首先寫出推廣以后的性質(zhì),Axm=xAx-1m-1,②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+),針對于這兩個(gè)式子進(jìn)行證明,根據(jù)排列數(shù)的意義,寫出要證明的等式的左邊和右邊,整理后兩邊相等.
(3)要求函數(shù)Ax3的單調(diào)區(qū)間,寫出排列數(shù)的表示形式,是一個(gè)三次函數(shù),需要對這個(gè)函數(shù)求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于零,得到函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于零,得到函數(shù)的減區(qū)間.
解答:解:(1)A
-153=(-15)(-16)(-17)=-4080;
(2)性質(zhì)①、②均可推廣,推廣的形式分別是:
①A
xm=xA
x-1m-1,②A
xm+mA
xm-1=A
x+1m(x∈R,m∈N
+)
事實(shí)上,在①中,當(dāng)m=1時(shí),左邊=A
x1=x,右邊=xA
x-10=x,等式成立;
當(dāng)m≥2時(shí),左邊=x(x-1)(x-2)(x-m+1)=x[(x-1)(x-2)((x-1)-(m-1)+1)]=xA
x-1m-1,
因此,①A
xm=xA
x-1m-1成立;
在②中,當(dāng)m=1時(shí),左邊=A
x1+A
x0=x+1=A
x+11=右邊,等式成立;
當(dāng)m≥2時(shí),
左邊=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-m+2)
=x(x-1)(x-2)(x-m+2)[(x-m+1)+m]=(x+1)x(x-1)(x-2)[(x+1)-m+1]=A
x+1m=右邊,
因此②A
xm+mA
xm-1=A
x+1m(x∈R,m∈N
+)成立.
(3)先求導(dǎo)數(shù),得(A
x3)
/=3x
2-6x+2.
令3x
2-6x+2>0,解得x<
或x>
.
因此,當(dāng)
x∈(-∞,)時(shí),函數(shù)為增函數(shù),
當(dāng)
x∈(,+∞)時(shí),函數(shù)也為增函數(shù).
令3x
2-6x+2<0,解得
<x<
.
因此,當(dāng)
x∈(,)時(shí),函數(shù)為減函數(shù).
∴函數(shù)A
x3的增區(qū)間為
(-∞,),
(,+∞)函數(shù)A
x3的減區(qū)間為
(,) 點(diǎn)評:本題考查排列數(shù)公式,考查新定義問題,考查對于等式的證明,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查解決問題的能力和運(yùn)算能力,是一個(gè)綜合題目.