Question

已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)，則下列說(shuō)法
①2a-3b+1＞0；            
②a≠0時(shí)，

b

a

有最小值，無(wú)最大值；
③存在M∈R+，使

a2+b2

＞M恒成立；
④當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，則

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

1

3

)；
其中正確的命題是

③

（填上正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：由已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)可得2a-3b+1＜0，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得當(dāng)a＞0時(shí)，

b

a

＞

2

3

+

1

3a

，從而對(duì)①②作出判斷；對(duì)于③，是看

a2+b2

有沒有極小值，據(jù)

a2+b2

的集合即可得出；對(duì)于④，利用式子蘊(yùn)含的斜率的幾何意義即可解決．

解答：解：由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①錯(cuò)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由3b＞2a+1，可得

b

a

＞

2

3

+

1

3a

，∴不存在最小值，∴②錯(cuò)；

a2+b2

表示為（a，b）與（0，0）兩點(diǎn)間的距離，
由于原點(diǎn)（0，0）到直線2x-3y+1=0的距離d=

|1|

4+9

，
由線性規(guī)劃知識(shí)可得：

a2+b2

＞

|1|

4+9

=

13

13

恒成立，∴③正確；

b

a-1

表示為（a，b）和（1，0）兩點(diǎn)的斜率．
∵

b

a-1

表示點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（1，0）連線的斜率，
如圖，由線性規(guī)劃知識(shí)可知，

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

1

3

）∪（

2

3

，+∞）．④不正確．
故答案是：③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．