Question

9．已知|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，則使向量（2$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b$）與（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow b$）的夾角是銳角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$1＜λ＜6且λ≠\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式以及向量數(shù)量積與夾角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|${\overrightarrow a}$||${\overrightarrow b}$|cos45°=$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
若（2$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b$）與（$\overrightarrow{λa}$-3$\overrightarrow b$）同向共線時(shí)，
滿足（2$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b$）=m（$\overrightarrow{λa}$-3$\overrightarrow b$），m＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{2=mλ}\\{-λ=-3m}\end{array}\right.$，得λ=$\sqrt{6}$，
若向量（2$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b$）與（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow b$）的夾角是銳角，
則（2$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b$）•（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow b$）＞0，且$λ≠\sqrt{6}$，
即2λ$\overrightarrow a$²+3λ$\overrightarrow b$²-（6+λ²）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$＞0，
即4λ+3λ-（6+λ²）＞0，
即λ²-7λ+6＜0，
得$1＜λ＜6且λ≠\sqrt{6}$，
故答案為：$1＜λ＜6且λ≠\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量積和向量夾角的關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意向量同向共線時(shí)不滿足條件．