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9.已知|a|=2,|b|=1,ab的夾角為45°,則使向量(2ab)與(λa-3b)的夾角是銳角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為1<λ<6且λ≠\sqrt{6}

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式以及向量數(shù)量積與夾角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2},|{\overrightarrow b}|=1,\overrightarrow a\overrightarrow b的夾角為45°,
\overrightarrow a\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|cos45°=\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=1,
若(2\overrightarrow a\overrightarrow b)與(\overrightarrow{λa}-3\overrightarrow b)同向共線時,
滿足(2\overrightarrow a\overrightarrow b)=m(\overrightarrow{λa}-3\overrightarrow b),m>0,
\left\{\begin{array}{l}{2=mλ}\\{-λ=-3m}\end{array}\right.,得λ=\sqrt{6},
若向量(2\overrightarrow a\overrightarrow b)與(λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow b)的夾角是銳角,
則(2\overrightarrow a\overrightarrow b)•(λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow b)>0,且λ≠\sqrt{6},
即2λ\overrightarrow a2+3λ\overrightarrow b2-(6+λ2\overrightarrow{a}\overrightarrow b>0,
即4λ+3λ-(6+λ2)>0,
即λ2-7λ+6<0,
1<λ<6且λ≠\sqrt{6},
故答案為:1<λ<6且λ≠\sqrt{6}

點(diǎn)評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)數(shù)量積和向量夾角的關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.注意向量同向共線時不滿足條件.

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