Question

已知矩陣A的逆矩陣A^-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，求矩陣A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣特征值的定義

專題：矩陣和變換

分析：先計(jì)算出矩陣A，然后令其特征多項(xiàng)式f（λ）為0，即可求得特征值，再分別在f（λ）=0代入特征值即可求得分別對(duì)應(yīng)的特征向量．

解答： 解：∵A=（A^-1）^-1，且A^-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，
∴

.

A-1

.

=

1

4

，A=

2 3 2 1

．
設(shè)矩陣A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為（x，y）．
則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=λ²-3λ-4，
故特征方程為λ²-3λ-4=0，
解得λ₁=-1，λ₂=4．
當(dāng)λ₁=-1時(shí)，有

-3x-3y=0 -2x-2y=0

，
即x+y=0，取x=1，則y=-1；
當(dāng)λ₂=4時(shí)，有

2x-3y=0 -2x+3y=0

，
即2x-3y=0，取x=3，則y=2．
因此特征值為-1的一個(gè)特征向量為

α1

=

1 -1

，
特征值為4的一個(gè)特征向量為

α2

=

3 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣特征值的求法及求其對(duì)應(yīng)的特征向量，屬于基礎(chǔ)題．