Question

已知函數(shù)f（x）=lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，若存在x∈[1，2]，不等式|a+3x|-xf′（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）已知k∈R，討論關(guān)于x的方程f（x）+mx=在區(qū)間[2，4]上的實(shí)根個(gè)數(shù)（e≈2.71828）

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后將函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于轉(zhuǎn)化成f′（x）≥tan=在（0，+∞）上恒成立，利用參數(shù)分離法可求出m的取值范圍；
（II）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，然后利用參數(shù)分離法將a分離，最后利用存在性問(wèn)題的常用方法進(jìn)行求解即可；
（III）將k分離，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合法可求出根的個(gè)數(shù)．
解答：解：（I）∵f（x）=lnx（x＞0）
∴f′（x）=+3x-m
∵函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于，
∴f′（x）=+3x-m≥tan=在（0，+∞）上恒成立
即m≤+3x-在（0，+∞）上恒成立，而+3x-在（0，+∞）上的最小值為
∴m≤
（II）當(dāng)m=2時(shí)，f′（x）=+3x-2
不等式|a+3x|-xf′（x）＜0即為不等式|a+3x|-x（+3x-2）＜0
化簡(jiǎn)得不等式|a+3x|＜3x²-2x+1
即-3x²+2x-1＜a+3x＜3x²-2x+1
∴存在x∈[1，2]，使得不等式-3x²-x-1＜a＜3x²-5x+1成立
即（-3x²-x-1）_min＜a＜（3x²-5x+1）_max
即-15＜a＜3
（III）∵f（x）+mx=
∴l(xiāng)nx+=
即k=lnx+x²-x
令g（x）=lnx+x²-x（x∈[2，4]）
則g′（x）=+x-==
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，g′（x）＞0
∴函數(shù)g（x）在[2，3）上單調(diào)遞減，在（3，4）上單調(diào)遞增
則當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)g（x）取最小值g（3）=ln3-，而g（2）=ln2-2，g（4）=ln4-
∴當(dāng)k＜ln3-或k＞ln4-時(shí)方程f（x）+mx=在區(qū)間[2，4]上的實(shí)根個(gè)數(shù)為0
當(dāng)k=ln3-或ln2-2＜k＜ln4-時(shí)方程f（x）+mx=在區(qū)間[2，4]上的實(shí)根個(gè)數(shù)為1
當(dāng)ln3-＜k≤ln2-2時(shí)方程f（x）+mx=在區(qū)間[2，4]上的實(shí)根個(gè)數(shù)為2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及參數(shù)分離法研究恒成立和存在性問(wèn)題，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．