Question

（2012•浙江模擬）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（Ⅰ）求直線AB與平面PDC所成的角；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，

PE

=λ

PC

，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)PD⊥平面ABCD，可得平面PDC⊥平面ABCD．過(guò)D作DF∥AB交BC于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于G，則∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角，從而可得結(jié)論；
（Ⅱ）連接EF，證明平面DEF∥平面PAB，從而EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)，可求λ的值．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面ABCD．
∴平面PDC⊥平面ABCD．
過(guò)D作DF∥AB交BC于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于G，則∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角．
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=

3

，CF=3，
∴tan∠FDG=

3

，∴∠FDG=60°．
即直線AB與平面PDC所成角為60°．…（6分）
（Ⅱ）連接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB．
又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D
∴平面DEF∥平面PAB，
∵EF?平面DEF，∴EF∥AB．
又∵AD=1，BC=4，BF=1
∴

PE

PC

=

BF

BC

=

1

4

∴

PE

=

1

4

PC

，即λ=

1

4

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)分層設(shè)計(jì)，考查了空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．