Question

13．設(shè)x，y，z為整數(shù)，且x²+y²+z²=3，證明：
（1）xy+yz+zx≤3；
（2）$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥3．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用重要不等式可得x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，累加即可得證；
（2）由柯西不等式可得（xy+yz+zx）（$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$）≥（$\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$）²，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得證．

解答 證明：（1）由x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，
相加可得x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x²+y²+z²=3，可得xy+yz+zx≤3（當(dāng)x=y=z取得等號(hào)）；
（2）由柯西不等式可得（xy+yz+zx）（$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$）
≥（$\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$）²=（z+x+y）²
=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=3+2（xy+yz+zx），
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+$\frac{3}{xy+yz+zx}$，
由（1）可得$\frac{1}{xy+yz+zx}$≥$\frac{1}{3}$，
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+1=3，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用重要不等式和柯西不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．