Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n+1}-3×{2}^{n}+1}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）分類討論，再檢驗(yàn)寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）化簡b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n+1}-3×{2}^{n}+1}$=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，從而利用裂項(xiàng)求和法求解．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
a₁=1也滿足a_n=2^n-1，
故a_n=2^n-1；
（2）證明：∵b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n+1}-3×{2}^{n}+1}$
=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想與分類討論的思想應(yīng)用．