Question

已知過曲線上任意一點作直線的垂線，垂足為,且.

⑴求曲線的方程；

⑵設、是曲線上兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

 

Answer 1

⑴

⑵當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點.

【解析】

試題分析：⑴要求曲線方程,但是不知道是哪種曲線,所以只能設點.根據(jù),轉化為求曲線方程即可;

⑵要證明直線恒過定點,必須得有直線方程,所以首先設出直線方程.又因為兩個角是直線和的傾斜角,所以點也得設出來.利用韋達定理,然后討論的范圍變化,證明并得出定點坐標.

試題解析：⑴設，則，由得，;

即;所以軌跡方程為;

⑵設，由題意得（否則）且,

所以直線的斜率存在，設其方程為，

因為在拋物線上,所以，

將與聯(lián)立消去，得;

由韋達定理知①;

(1)當時，即時，,所以，

,所以.由①知：,所以

因此直線的方程可表示為，即.

所以直線恒過定點

(2)當時，由，得==

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，

此時，直線的方程可表示為,

即,所以直線恒過定點;

所以由(1)(2)知，當時，直線恒過定點，

當時直線恒過定點. 12分

考點：相關點法求曲線方程;分類討論.